2012高考理科数学真题（湖南卷）word版

2012-06-08 12:19:41 来源：育路高考网

2012年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x²≤x}，则M∩N=

A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}

2.命题“若α= ，则tanα=1”的逆否命题是

A.若α≠ ，则tanα≠1 B. 若α= ，则tanα≠1

C. 若tanα≠1，则α≠ D. 若tanα≠1，则α=

3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心（，）

C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg

5. 已知双曲线C ： - =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为

A - =1 B - =1 C - =1 D - =1

6. 函数f（x）=sinx-cos(x+ )的值域为

A [ -2 ,2] B [- , ] C [-1,1 ] D [- , ]

7. 在△ABC中，AB=2 AC=3 · =

A B C D

8 ，已知两条直线l1 ：y=m 和 l2 ： y= (m＞0)，l1与函数y=|log2x|的图像从左至右相交于点A，B ，l2 与函数y= y=|log2x|的图像从左至右相交于C,D 记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为

A B C D

二，填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上

（一）选做题（请考生在第9.10 11三题中人选两题作答案，如果全做，则按前两题记分）

9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：x=t+1 (t为参数)与曲线C2 ：x=asin

Y= 1-2t y=3cos

( 为参数，a＞0 ) 有一个公共点在X轴上，则a 等于 ————

10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.

11.如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_______

(二)必做题（12~16题）

12.已知复数z=（3+i）²(i为虚数单位)，则|z|=_____.

13.( - )⁶的二项展开式中的常数项为。（用数字作答）

14.如果执行如图3所示的程序框图，输入x=-1,n=3,则输入的数S=

15.函数f（x）=sin ( )的导函数y=f(x)的比分图像如图4所示，其中，P为图像与轴的交点，A,C为图像与图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点。

（1）若，点P的坐标为（0，），则 ABC内的概率为

（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为。

16.设N=2ⁿ（n∈N^*，n≥2），将N个数x₁,x₂,…，x_N依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P₀=x₁x₂…x_N。将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前个数和后个位置，得到排列P₁=x₁x₃…x_N-1x₂x₄…x_N，

将此操作称为C变换，将P₁分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P₂当2≤i≤n-2时，将P_i分成2ⁱ段，每段个数，并对每段C变换，得到P_i+1，例如，当N=8时，P₂=x₁x₅x₃x₇x₂x₆x₄x₈，此时x₇位于P₂中的第4个位置。

（1）当N=16时，x₇位于P₂中的第___个位置；

（2）当N=2ⁿ（n≥8）时，x₁₇₃位于P₄中的第___个位置。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示。

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％。

（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；

（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率。

（注：将频率视为概率）

18.（本小题满分12分）

如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点。

（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积。

19.（本小题满分12分）

已知数列{an的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+……+a_n，B（n）=a₂+a₃+……+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+……+a_n+2，n=1,2，……。

（1）若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式。

（2）证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列。

20.（本小题满分13分）

某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）。已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件。该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为Ｋ（Ｋ为正整数）。

（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；

（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数Ｋ的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案。

21.（本小题满分13分）

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的点均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值。