高数一命题试卷二
2003-08-29 16:03:00 来源：中国招生考试在线
高等数学（一）命题预测试卷（二）
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1． 设 的定义域为 ， ，则复合函数 的定义域为
（ ）
A．（0，1） B．
C． D．
2．函数 在点 处二阶可导，且 ，则对于
与 ，有（ ）
A． B．
C． D．
3．与三个坐标轴夹角均相等的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
4．幂级数 的收敛区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．方程 的通解为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分。把答案填在题中横线上）
6．设 ，则 ．
7． = ．
8．设 可导，则 ．
9．函数 在 上的最大值为 ．
10． ．
11． ．
12．设 为 的一个原函数，则 ．
13．设 ，则 ．
14．设 ，则 ．
15．改变二次积分 的次序，则I= ．
三、解答题（本大题共13个小题，共90分。解答写出推理、演算步骤）
16．（本题满分6分）
计算 ．
17．（本题满分6分）
计算 ．
18．（本题满分6分）
把函数 展开为 的幂级数，并写出其收敛区间．
19．（本题满分6分）
求方程 的通解．
20．（本题满分）
求过点（0，0，0）且与平面 ： 及 ： 同时平行的直线方程．
21．（本题满分6分）
设函数 由方程 确定，其中F是可微函数，m与n为常数，求 ．
22．（本题满分6分）
求函数 的极值及对应曲线的拐点．
23．（本题满分6分）
计算二重积分 ，其中 ： ．
24．（本题满分6分）
用级数的逐项求导或逐项求积运算，求级数 的和函数．
25．（本题满分6分）
设 由方程组 确定，求 ．
26．（本题满分10分）
求由曲线 与直线 所围图形面积．
27．（本题满分10分）
设 ，证明方程
在 内至少有一个实根．
28．（本题满分10分）
设由方程 确定 ，求 及 ．
参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．C 5．B
二、填空题
6． 7．－1
8． 9．
10． 11．
12． 13．0
14． 15．
三、解答题
16．解 当 时， ，故 为有界变量
而 为无穷小量
故
另外（令 ），
故原式= ．
17．解 （令 ）
18．解
由 ，解得收敛区间为 ．
19．解 对应齐次方程的特征方程为 ，得
因此对应齐次方程的通解为
由于原方程的自由项中，－2是特征方程的单根，
故设原方程的一个特解为 ，代入所给方程，并消去
，得 ，于是
从而原方程的解为
．
20．解 的法线向量 ， 的法线向量
故所求直线的方向向量可取为
故所求直线方程为 ．
21．解 设 ，则
故
从而
故
22．解
令 ，得
又
． 为极大值点，极大值为 再令 ，得 ，列表如下
0 2
＋ 0 － 0 ＋
上凹 拐点 下凹 拐点 上凹
故此曲线有两个拐点 与 ．
23．解 ．
24．解 令
则
于是
25．解 由方程组的第一个方程式对 求导得
由方程组的第二个方程式对 求导得
得
因此
又 时，由方程组可得
故 ．
26．解 如右图，联立方程
得两曲线的一个交点为（－1，1）
联立方程 ，得两曲线的
交点为（－1，1）
故
27．证 令
则
从而
由罗尔定理知 使
即
故方程 在 内至少
有一个实根．
28．解 设
则
故
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1． 设 的定义域为 ， ，则复合函数 的定义域为
（ ）
A．（0，1） B．
C． D．
2．函数 在点 处二阶可导，且 ，则对于
与 ，有（ ）
A． B．
C． D．
3．与三个坐标轴夹角均相等的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
4．幂级数 的收敛区间为（ ）
A． B．
C． D．
5．方程 的通解为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分。把答案填在题中横线上）
6．设 ，则 ．
7． = ．
8．设 可导，则 ．
9．函数 在 上的最大值为 ．
10． ．
11． ．
12．设 为 的一个原函数，则 ．
13．设 ，则 ．
14．设 ，则 ．
15．改变二次积分 的次序，则I= ．
三、解答题（本大题共13个小题，共90分。解答写出推理、演算步骤）
16．（本题满分6分）
计算 ．
17．（本题满分6分）
计算 ．
18．（本题满分6分）
把函数 展开为 的幂级数，并写出其收敛区间．
19．（本题满分6分）
求方程 的通解．
20．（本题满分）
求过点（0，0，0）且与平面 ： 及 ： 同时平行的直线方程．
21．（本题满分6分）
设函数 由方程 确定，其中F是可微函数，m与n为常数，求 ．
22．（本题满分6分）
求函数 的极值及对应曲线的拐点．
23．（本题满分6分）
计算二重积分 ，其中 ： ．
24．（本题满分6分）
用级数的逐项求导或逐项求积运算，求级数 的和函数．
25．（本题满分6分）
设 由方程组 确定，求 ．
26．（本题满分10分）
求由曲线 与直线 所围图形面积．
27．（本题满分10分）
设 ，证明方程
在 内至少有一个实根．
28．（本题满分10分）
设由方程 确定 ，求 及 ．
参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．C 5．B
二、填空题
6． 7．－1
8． 9．
10． 11．
12． 13．0
14． 15．
三、解答题
16．解 当 时， ，故 为有界变量
而 为无穷小量
故
另外（令 ），
故原式= ．
17．解 （令 ）
18．解
由 ，解得收敛区间为 ．
19．解 对应齐次方程的特征方程为 ，得
因此对应齐次方程的通解为
由于原方程的自由项中，－2是特征方程的单根，
故设原方程的一个特解为 ，代入所给方程，并消去
，得 ，于是
从而原方程的解为
．
20．解 的法线向量 ， 的法线向量
故所求直线的方向向量可取为
故所求直线方程为 ．
21．解 设 ，则
故
从而
故
22．解
令 ，得
又
． 为极大值点，极大值为 再令 ，得 ，列表如下
0 2
＋ 0 － 0 ＋
上凹 拐点 下凹 拐点 上凹
故此曲线有两个拐点 与 ．
23．解 ．
24．解 令
则
于是
25．解 由方程组的第一个方程式对 求导得
由方程组的第二个方程式对 求导得
得
因此
又 时，由方程组可得
故 ．
26．解 如右图，联立方程
得两曲线的一个交点为（－1，1）
联立方程 ，得两曲线的
交点为（－1，1）
故
27．证 令
则
从而
由罗尔定理知 使
即
故方程 在 内至少
有一个实根．
28．解 设
则
故
